2009년07월26일 95번

[사회통계]
특정 질문에 대해 응답자가 답해줄 확률은 0.5이며, 매 질문시 답변 여부는 상호독립적으로 결정된다. 5명에게 질문하였을 경우, 3명이 답해줄 확률과 가장 가까운 값은 얼마인가?

① 0.50
② 0.31
③ 0.60
④ 결정할 수 없다.

(정답률: 34%)

문제 해설

이 문제는 이항분포를 이용하여 풀 수 있다. 이항분포는 이진분류 문제에서 성공확률이 p인 시행을 n번 반복했을 때, k번 성공할 확률을 나타내는 분포이다. 이 문제에서는 성공확률이 0.5이고, 시행을 5번 반복하므로 이항분포를 이용하여 계산할 수 있다.

3명이 답해줄 확률은 k=3일 때의 이항분포 확률값을 구하면 된다. 이항분포 확률값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)

여기서 n은 시행 횟수, p는 성공확률, k는 성공한 횟수이다. (n choose k)는 조합을 나타내는 기호로, n개 중에서 k개를 선택하는 경우의 수를 나타낸다.

따라서, 이 문제에서는 다음과 같이 계산할 수 있다.

P(X=3) = (5 choose 3) * 0.5^3 * 0.5^2
= 10 * 0.125 * 0.25
= 0.3125

따라서, 3명이 답해줄 확률과 가장 가까운 값은 0.31이다.

보기에서 "0.31"이 정답인 이유는, 이항분포 확률값을 계산하여 구한 값이 0.31에 가장 가까워서이다. "0.50"은 모든 질문에 대해 답변할 확률이 0.5라는 가정이므로, 3명이 답해줄 확률과는 관련이 없다. "0.60"은 3명 이상이 답해줄 확률이므로, 3명이 답해줄 확률과는 다르다. "결정할 수 없다."는 적절한 이유 없이 선택한 것이므로, 정답이 될 수 없다.

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